Les travaux de cette thèse concernent la mise au point de méthodes mathématiques d'approximation numérique des problèmes de mécanique du contact rencontrés en géologie, en particulier les fractures géologiques dans les édifices volcaniques. Le sujet de la thèse fait parti d'un projet plus global du Labex ClerVolc, qui a comme but la détection des fractures présentes dans les structures volcanique à partir des observations de surface. La principale motivation est de relâcher la contrainte des maillages conformes à l'interface. Et d'avoir des solveurs numériques directs robustes qui ne nécessitent pas le remaillage du domaine à chaque configuration de la fracture. Les problèmes étudiés sont le contact unilatéral, le contact bilatéral et les structures avec joints.
On commence par introduire un état de l'art rapide sur les méthodes d'optimisation convexe : Uzawa Gradient conjugué, Uzawa relaxation par bloque, points intérieurs et Active Set. Et sur les méthodes de discrétisation de type domaines fictifs en mécanique de structure. Ensuite, on étudie le problème du contact bilatéral sans frottement en utilisant une méthode combinant les méthodes des domaines fictifs inspiré de XFEM (CutFem) et la méthode d'Uzawa gradient conjugué. On étudie ensuite le problème unilatéral avec frottement et sa résolution par la méthode Primal Dual Active Set. On présente également une méthode permettant de sélectionner automatiquement le paramètre optimal de pénalité pour la méthode d'Uzawa relaxation par blocs (ADDM) pour le contact unilatéral étant le critère principal pour garantir une convergence rapide de la méthode.
Enfin, on applique les méthodes développées à la résolution de problème de structures avec joints non linéaires.